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Lista 01 - Inequações e Estudo de Sinal

Parte 1 — Resolva as Inequações

⚠️ Regra importante: ao multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo, o sinal da inequação inverte.

1) 3x + 3 < x + 6

Passo 1: Isolar os termos com x no lado esquerdo (subtrair x dos dois lados):

\[3x - x + 3 < 6 \implies 2x + 3 < 6\]

Passo 2: Subtrair 3 dos dois lados:

\[2x < 3\]

Passo 3: Dividir por 2 (positivo → sinal não muda):

\[x < \frac{3}{2}\]

✅ Solução: \(x < \dfrac{3}{2}\) → \(S = \left(-\infty,\ \dfrac{3}{2}\right)\)

2) x − 3 > 3x + 1

Passo 1: Subtrair 3x dos dois lados:

\[x - 3x - 3 > 1 \implies -2x - 3 > 1\]

Passo 2: Somar 3 aos dois lados:

\[-2x > 4\]

Passo 3: Dividir por −2 ⚠️ sinal inverte:

\[x < \frac{4}{-2} \implies x < -2\]

✅ Solução: \(x < -2\) → \(S = (-\infty,\ -2)\)

3) 2x − 1 ≥ 5x + 3

Passo 1: Subtrair 5x dos dois lados:

\[-3x - 1 \geq 3\]

Passo 2: Somar 1 aos dois lados:

\[-3x \geq 4\]

Passo 3: Dividir por −3 ⚠️ sinal inverte:

\[x \leq -\frac{4}{3}\]

✅ Solução: \(x \leq -\dfrac{4}{3}\) → \(S = \left(-\infty,\ -\dfrac{4}{3}\right]\)

4) x + 3 ≤ 6x − 2

Passo 1: Subtrair 6x dos dois lados:

\[-5x + 3 \leq -2\]

Passo 2: Subtrair 3 dos dois lados:

\[-5x \leq -5\]

Passo 3: Dividir por −5 ⚠️ sinal inverte:

\[x \geq 1\]

✅ Solução: \(x \geq 1\) → \(S = [1,\ +\infty)\)

5) 1 − 3x > 0

Passo 1: Subtrair 1 dos dois lados:

\[-3x > -1\]

Passo 2: Dividir por −3 ⚠️ sinal inverte:

\[x < \frac{1}{3}\]

✅ Solução: \(x < \dfrac{1}{3}\) → \(S = \left(-\infty,\ \dfrac{1}{3}\right)\)

6) 2x + 1 ≥ 3x

Passo 1: Subtrair 3x dos dois lados:

\[-x + 1 \geq 0\]

Passo 2: Subtrair 1 dos dois lados:

\[-x \geq -1\]

Passo 3: Multiplicar por −1 ⚠️ sinal inverte:

\[x \leq 1\]

✅ Solução: \(x \leq 1\) → \(S = (-\infty,\ 1]\)

Parte 2 — Estudo do Sinal das Expressões

Para uma expressão linear \(ax + b\), a raiz (zero) é \(x_0 = -b/a\). O sinal depende do coeficiente \(a\).

7) 3x − 1

Raiz: \(3x - 1 = 0 \implies x = \dfrac{1}{3}\)

Como \(a = 3 > 0\), a expressão é crescente.

\(x\) \(x < \frac{1}{3}\) \(x = \frac{1}{3}\) \(x > \frac{1}{3}\)
\(3x - 1\) − 0 +

✅ Negativa para \(x < \frac{1}{3}\) · Nula em \(x = \frac{1}{3}\) · Positiva para \(x > \frac{1}{3}\)

8) 3 − x

Raiz: \(3 - x = 0 \implies x = 3\)

Como \(a = -1 < 0\), a expressão é decrescente.

\(x\) \(x < 3\) \(x = 3\) \(x > 3\)
\(3 - x\) + 0 −

✅ Positiva para \(x < 3\) · Nula em \(x = 3\) · Negativa para \(x > 3\)

9) 2 − 3x

Raiz: \(2 - 3x = 0 \implies x = \dfrac{2}{3}\)

Como \(a = -3 < 0\), a expressão é decrescente.

\(x\) \(x < \frac{2}{3}\) \(x = \frac{2}{3}\) \(x > \frac{2}{3}\)
\(2 - 3x\) + 0 −

✅ Positiva para \(x < \frac{2}{3}\) · Nula em \(x = \frac{2}{3}\) · Negativa para \(x > \frac{2}{3}\)

10) 5x + 1

Raiz: \(5x + 1 = 0 \implies x = -\dfrac{1}{5}\)

Como \(a = 5 > 0\), a expressão é crescente.

\(x\) \(x < -\frac{1}{5}\) \(x = -\frac{1}{5}\) \(x > -\frac{1}{5}\)
\(5x + 1\) − 0 +

✅ Negativa para \(x < -\frac{1}{5}\) · Nula em \(x = -\frac{1}{5}\) · Positiva para \(x > -\frac{1}{5}\)

11) (2x + 1)(x − 2)

Raízes: \(x = -\dfrac{1}{2}\) e \(x = 2\)

\(x\) \(x < -\frac{1}{2}\) \(x = -\frac{1}{2}\) \(-\frac{1}{2} < x < 2\) \(x = 2\) \(x > 2\)
\(2x+1\) − 0 + + +
\(x-2\) − − − 0 +
Produto + 0 − 0 +

✅ Positivo: \(x < -\frac{1}{2}\) ou \(x > 2\) · Negativo: \(-\frac{1}{2} < x < 2\)

12) (2x − 1)(3 − 2x)

Raízes: \(x = \dfrac{1}{2}\) e \(x = \dfrac{3}{2}\)

\(x\) \(x < \frac{1}{2}\) \(x = \frac{1}{2}\) \(\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}\) \(x = \frac{3}{2}\) \(x > \frac{3}{2}\)
\(2x-1\) − 0 + + +
\(3-2x\) + + + 0 −
Produto − 0 + 0 −

✅ Positivo: \(\dfrac{1}{2} < x < \dfrac{3}{2}\) · Negativo: \(x < \dfrac{1}{2}\) ou \(x > \dfrac{3}{2}\)

13) x(x − 3)

Raízes: \(x = 0\) e \(x = 3\)

\(x\) \(x < 0\) \(x = 0\) \(0 < x < 3\) \(x = 3\) \(x > 3\)
\(x\) − 0 + + +
\(x-3\) − − − 0 +
Produto + 0 − 0 +

✅ Positivo: \(x < 0\) ou \(x > 3\) · Negativo: \(0 < x < 3\)

14) x(x − 1)(2x + 3)

Raízes: \(x = -\dfrac{3}{2}\), \(x = 0\), \(x = 1\)

\(x\) \(x < -\frac{3}{2}\) \(-\frac{3}{2} < x < 0\) \(0 < x < 1\) \(x > 1\)
\(x\) − − + +
\(x-1\) − − − +
\(2x+3\) − + + +
Produto − + − +

\((-)(-)(-)=(-)\) · \((-)(-)( +)=(+)\) · \((+)(-)(+)=(-)\) · \((+)(+)(+)=(+)\)

✅ Positivo: \(-\dfrac{3}{2} < x < 0\) ou \(x > 1\) · Negativo: \(x < -\dfrac{3}{2}\) ou \(0 < x < 1\)

15) (x − 1)(1 + x)(2 − 3x)

Raízes: \(x = -1\), \(x = \dfrac{2}{3}\), \(x = 1\)

\(x\) \(x < -1\) \(-1 < x < \frac{2}{3}\) \(\frac{2}{3} < x < 1\) \(x > 1\)
\(x-1\) − − − +
\(1+x\) − + + +
\(2-3x\) + + − −
Produto + − + −

✅ Positivo: \(x < -1\) ou \(\dfrac{2}{3} < x < 1\) · Negativo: \(-1 < x < \dfrac{2}{3}\) ou \(x > 1\)

16) x(x² + 3)

Observação: \(x^2 + 3 \geq 3 > 0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\) → sempre positivo, sem raízes reais.

O sinal do produto depende apenas de \(x\):

\(x\) \(x < 0\) \(x = 0\) \(x > 0\)
\(x(x^2+3)\) − 0 +

✅ Negativo para \(x < 0\) · Nulo em \(x = 0\) · Positivo para \(x > 0\)

17) (2x − 1)(x² + 1)

Observação: \(x^2 + 1 \geq 1 > 0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\) → sempre positivo, sem raízes reais.

Raiz: \(2x - 1 = 0 \implies x = \dfrac{1}{2}\)

\(x\) \(x < \frac{1}{2}\) \(x = \frac{1}{2}\) \(x > \frac{1}{2}\)
\((2x-1)(x^2+1)\) − 0 +

✅ Negativo para \(x < \dfrac{1}{2}\) · Nulo em \(x = \dfrac{1}{2}\) · Positivo para \(x > \dfrac{1}{2}\)

18) ax + b, com a > 0

Raiz: \(ax + b = 0 \implies x = -\dfrac{b}{a}\)

Como \(a > 0\), a expressão é crescente:

\(x\) \(x < -\frac{b}{a}\) \(x = -\frac{b}{a}\) \(x > -\frac{b}{a}\)
\(ax + b\) − 0 +

✅ Negativa para \(x < -\dfrac{b}{a}\) · Nula em \(x = -\dfrac{b}{a}\) · Positiva para \(x > -\dfrac{b}{a}\)

19) ax + b, com a < 0

Raiz: \(ax + b = 0 \implies x = -\dfrac{b}{a}\)

Como \(a < 0\), a expressão é decrescente — o sinal é invertido:

\(x\) \(x < -\frac{b}{a}\) \(x = -\frac{b}{a}\) \(x > -\frac{b}{a}\)
\(ax + b\) + 0 −

✅ Positiva para \(x < -\dfrac{b}{a}\) · Nula em \(x = -\dfrac{b}{a}\) · Negativa para \(x > -\dfrac{b}{a}\)

Observe que os casos 18 e 19 são simetricamente opostos: o sinal de \(a\) determina o comportamento da expressão linear.