Lista 01.4.2 — Movimento circular
Missão
Resolver os exercícios de mecânica com passos detalhados, explicando cada etapa do raciocínio e os cálculos envolvidos. O objetivo é fornecer uma compreensão clara e completa de como chegar à resposta correta, utilizando conceitos fundamentais da física e matemática.
Exercício 44 — \(\vec{r}(t) = 4\text{sen}(2\pi t)\hat{i} + 4\cos(2\pi t)\hat{j}\)
(a) Mostrar que a trajetória é um círculo
Passo 1 — Calcular \(x^2 + y^2\): \[x^2 + y^2 = [4\text{sen}(2\pi t)]^2 + [4\cos(2\pi t)]^2\] \[= 16\text{sen}^2(2\pi t) + 16\cos^2(2\pi t) = 16[\text{sen}^2 + \cos^2] = 16\]
Passo 2 — Portanto \(x^2 + y^2 = 16 = 4^2\), que é a equação de um círculo de raio 4 m centrado na origem. \(\checkmark\)
(b) Vetor velocidade e relação \(v_x/v_y = -y/x\)
Passo 1 — Derivar \(\vec{r}(t)\): \[v_x = \frac{dx}{dt} = 4(2\pi)\cos(2\pi t) = 8\pi\cos(2\pi t)\] \[v_y = \frac{dy}{dt} = -4(2\pi)\text{sen}(2\pi t) = -8\pi\text{sen}(2\pi t)\]
Passo 2 — Calcular a razão: \[\frac{v_x}{v_y} = \frac{8\pi\cos(2\pi t)}{-8\pi\text{sen}(2\pi t)} = \frac{-\cos(2\pi t)}{\text{sen}(2\pi t)}\]
Passo 3 — Comparar com \(-y/x\): \[\frac{-y}{x} = \frac{-4\cos(2\pi t)}{4\text{sen}(2\pi t)} = \frac{-\cos(2\pi t)}{\text{sen}(2\pi t)} \checkmark\]
(c) Vetor aceleração: direção radial e módulo \(v^2/r\)
Passo 1 — Derivar as componentes da velocidade: \[a_x = \frac{dv_x}{dt} = -8\pi(2\pi)\text{sen}(2\pi t) = -16\pi^2\text{sen}(2\pi t) = -(2\pi)^2 x\] \[a_y = \frac{dv_y}{dt} = -8\pi(2\pi)\cos(2\pi t) = -16\pi^2\cos(2\pi t) = -(2\pi)^2 y\]
Passo 2 — O vetor aceleração é: \[\vec{a} = -(2\pi)^2\vec{r}\]
Isso significa que \(\vec{a}\) é oposto a \(\vec{r}\) → direção radial (centrípeta). \(\checkmark\)
Passo 3 — Calcular o módulo da velocidade: \[v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(8\pi)^2\cos^2 + (8\pi)^2\text{sen}^2} = 8\pi \text{ m/s}\]
Passo 4 — Verificar que \(|\vec{a}| = v^2/r\): \[|\vec{a}| = (2\pi)^2 \times 4 = 16\pi^2\] \[\frac{v^2}{r} = \frac{(8\pi)^2}{4} = \frac{64\pi^2}{4} = 16\pi^2 \checkmark\]
(d) Período do movimento
Passo 1 — A função \(\text{sen}(2\pi t)\) tem período quando o argumento aumenta \(2\pi\): \[2\pi T = 2\pi \implies \boxed{T = 1 \text{ s}}\]
Exercício 45 — Atleta: \(v = 9{,}2\) m/s, \(a_r = 3{,}8\) m/s²
(a) Raio da pista
\[a_r = \frac{v^2}{R} \implies R = \frac{v^2}{a_r} = \frac{(9{,}2)^2}{3{,}8} = \frac{84{,}64}{3{,}8} \approx \boxed{22{,}3 \text{ m}}\]
(b) Período de uma volta
\[T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi(22{,}3)}{9{,}2} = \frac{140{,}1}{9{,}2} \approx \boxed{15{,}2 \text{ s}}\]
Exercício 46 — Círculo de raio 50 m, \(v(t) = 8 + 2t\) m/s, em \(t = 1\) s
Módulo da aceleração e ângulo com o eixo \(y\)
Em \(t = 1\) s: \(v = 8 + 2(1) = 10\) m/s.
Aceleração tangencial (variação do módulo da velocidade): \[a_T = \frac{dv}{dt} = 2 \text{ m/s}^2\]
Aceleração centrípeta (direção radial): \[a_{cp} = \frac{v^2}{R} = \frac{100}{50} = 2 \text{ m/s}^2\]
Módulo da aceleração total: \[|\vec{a}| = \sqrt{a_T^2 + a_{cp}^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx \boxed{2{,}83 \text{ m/s}^2}\]
Ângulo com o eixo \(y\) (que pela figura é a direção radial no ponto dado):
Como \(a_T = a_{cp}\), o ângulo entre a aceleração total e cada componente é: \[\tan\phi = \frac{a_T}{a_{cp}} = \frac{2}{2} = 1 \implies \phi = \boxed{45°}\]