Aula introdutória (Semana de 06/03)

Dados triviais e introdução a Algebra

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Numeros

• Números Naturais: 0, 1, 2, 3, …
• Números Inteiros: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
• Números Racionais: Frações, como 1/2, 3/4, …
  \(Q = \{p/q | p, q ∈ Z, b ≠ 0\}\)
• Números Irracionais: Números que não podem ser expressos como fração, como π, √2, …
• Numeros Reais: Todos os números racionais e irracionais, como -1, 0, 1, 1/2, π, … (os continuos)

Conjuntos

• Conjunto vazio: ∅ - um conjunto sem elementos.
• Conjunto unitário: {a} - um conjunto com um único elemento.
• Conjunto finito: ${1, 2, 3}$ - um conjunto com um número finito de elementos.
• Conjunto infinito: {1, 2, 3, …} - um conjunto com um número infinito de elementos.
• Conjunto dos números naturais: N = {0, 1, 2, 3, …}
• Conjunto dos números inteiros: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
• Conjunto dos números racionais: Q = {p/q | p, q ∈ Z, q ≠ 0}
• Conjunto dos números irracionais: I = {x | x é um número real e não é racional}
• Conjunto dos números reais: R = Q ∪ I

Zahl: Numero (do alemão, por isso que é numero inteiro). DEF - uma coleção de objetos, chamada elementos, onde a ordem dos elementos não importa e os elementos são distintos. Exemplo: {1, 2, 3} é um conjunto, mas {1, 2, 2} não é um conjunto porque tem elementos repetidos.

Operações com Conjuntos

• União: A ∪ B - o conjunto de elementos que estão em A ou em B (ou em ambos).
• Interseção: A ∩ B - o conjunto de elementos que estão em A e em B.
• Diferença: A - B - o conjunto de elementos que estão em A mas não em B.
• Complemento: A’ - o conjunto de elementos que não estão em A (em relação a um universo de referência).
• Produto Cartesiano: A × B - o conjunto de todos os pares ordenados (a, b) onde a ∈ A e b ∈ B.

Operador de subconjunto: A ⊆ B - A é um subconjunto de B se todo elemento de A também é um elemento de B. Exemplo: {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}.

Os simbolos da logica

Uma frase é uma sequencia finita de palavras. Exemplo: “O gato telhado” é uma frase, mas não faz sentido. Já uma sentença é uma frase que tem um valor de verdade, ou seja, pode ser verdadeira ou falsa. Exemplo: “O gato está no telhado” é uma sentença, porque pode ser verdadeira ou falsa.

Dadas sentençasm pag de formar sentenças mais complexas usando conectivos lógicos:

• ^ é
• v ou
• ~ negação
• -> implica
• <- implica
• <-> se e somente se
• \(\forall\) para todo
• \(\exists\) existe
• \(\exists!\) existe exatamente um
• \(\exists/\) não existe
• \(\in\) pertence
• \(\notin\) não pertence

Sentenças Compostas

P, Q, R são sentenças simples. Podemos formar sentenças compostas usando os conectivos lógicos:

• Tabelas de verdade: eu tenho a sentença P e a sentença Q, e quero saber o valor de verdade da sentença composta P ^ Q. A tabela de verdade para P ^ Q é:

P	Q	P ^ Q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

• Tabelas de verdade para outros conectivos lógicos:

P	Q	P v Q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

• Tabela de verdade para ~P:

P	~P
V	F
F	V

• Tabela de verdade para P -> Q:

P	Q	P -> Q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

• Tabela de verdade para ~(P ^ Q) <-> (~P v ~Q):

P	Q	P ^ Q	~(P ^ Q)	~P	~Q	~P v ~Q	~(P ^ Q) <-> (~P v ~Q)
V	V	V	F	F	F	F	V
V	F	F	V	F	V	V	V
F	V	F	V	V	F	V	V
F	F	F	V	V	V	V	V