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Lista 01.1: Grandezas físicas e análise dimensional

Missão

Resolver os exercícios de mecânica com passos detalhados, explicando cada etapa do raciocínio e os cálculos envolvidos. O objetivo é fornecer uma compreensão clara e completa de como chegar à resposta correta, utilizando conceitos fundamentais da física e matemática.

Exercício 1 — Batimentos cardíacos em uma vida

O que queremos: número total de batimentos em 70 anos.

Estratégia: converter 70 anos em minutos, depois multiplicar pela taxa de batimentos.

Passo 1 — Converter anos em dias: \[70 \text{ anos} \times 365 \frac{\text{dias}}{\text{ano}} = 25.550 \text{ dias}\]

Passo 2 — Converter dias em horas: \[25.550 \text{ dias} \times 24 \frac{\text{h}}{\text{dia}} = 613.200 \text{ h}\]

Passo 3 — Converter horas em minutos: \[613.200 \text{ h} \times 60 \frac{\text{min}}{\text{h}} = 3{,}68 \times 10^7 \text{ min}\]

Passo 4 — Multiplicar pela taxa de batimentos: \[N = 60 \frac{\text{bat}}{\text{min}} \times 3{,}68 \times 10^7 \text{ min} \approx \boxed{2 \times 10^9 \text{ batimentos}}\]

Dica de notação científica: $60 \times 3{,}68 \times 10^7 = 220{,}8 \times 10^7 = 2{,}208 \times 10^9 \approx 2 \times 10^9$

Exercício 2 — Distância Terra-Lua

O que queremos: a distância de ida (Terra → Lua).

Estratégia: o radar faz o percurso de ida e volta. Logo, a distância de ida é metade do percurso total.

Passo 1 — Identificar os dados: \[v = 3{,}0 \times 10^8 \text{ m/s}, \quad t_{total} = 2{,}56 \text{ s}\]

Passo 2 — Calcular a distância total percorrida pelo feixe: \[d_{total} = v \times t = 3{,}0 \times 10^8 \times 2{,}56 = 7{,}68 \times 10^8 \text{ m}\]

Passo 3 — A distância Terra-Lua é metade disso: \[d = \frac{d_{total}}{2} = \frac{7{,}68 \times 10^8}{2} = 3{,}84 \times 10^8 \text{ m}\]

Passo 4 — Converter para km (dividir por 1000): \[d = \frac{3{,}84 \times 10^8}{10^3} = \boxed{3{,}84 \times 10^5 \text{ km}}\]

Exercício 3 — Contar R$ 2 bilhões

O que queremos: saber se é possível contar $2 \times 10^9$ notas antes de morrer.

Passo 1 — Calcular quantas notas você conta por dia. Você tem 16 horas úteis (24 h − 8 h de sono/refeições), contando 1 nota por segundo: \[16 \text{ h} \times 3600 \frac{\text{s}}{\text{h}} = 57.600 \text{ notas/dia}\]

Passo 2 — Calcular quantos dias seriam necessários: \[T_{dias} = \frac{2 \times 10^9 \text{ notas}}{57.600 \text{ notas/dia}} \approx 34.722 \text{ dias}\]

Passo 3 — Converter dias em anos: \[T_{anos} = \frac{34.722}{365} \approx 95 \text{ anos}\]

Passo 4 — Verificar a viabilidade: você começa com 18 anos, então terminaria com: \[18 + 95 = 113 \text{ anos}\]

Conclusão: Não vale a pena. Levaria ~95 anos para terminar, e você teria 113 anos ao final — muito além da expectativa de vida média.

\[\boxed{\text{Não aceite a oferta!}}\]

Exercício 4 — Unidade de G no SI

O que queremos: descobrir $[G]$ a partir da fórmula $F = G\dfrac{Mm}{r^2}$.

Estratégia: isolar $G$ algebricamente e substituir as unidades de cada grandeza.

Passo 1 — Isolar $G$: \[G = \frac{F \cdot r^2}{M \cdot m}\]

Passo 2 — Substituir as unidades do SI de cada grandeza:

$[F] = \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2}$
$[r^2] = \text{m}^2$
$[M] = [m] = \text{kg}$

Passo 3 — Montar a expressão dimensional: \[[G] = \frac{\text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2} \cdot \text{m}^2}{\text{kg} \cdot \text{kg}}\]

Passo 4 — Simplificar, cancelando kg no numerador e denominador: \[[G] = \frac{\text{kg} \cdot \text{m}^3 \cdot \text{s}^{-2}}{\text{kg}^2} = \boxed{\frac{\text{m}^3}{\text{kg} \cdot \text{s}^2}}\]

Exercício 5 — Dimensões de A e B em $V = At^3 + B/t$

Princípio fundamental: em qualquer equação física, todos os termos somados devem ter a mesma dimensão. Isso se chama homogeneidade dimensional.

Dado: $[V] = \text{m}^3$ e $[t] = \text{s}$.

Para a constante A:

Passo 1 — O termo $At^3$ deve ter dimensão de $\text{m}^3$: \[[A \cdot t^3] = \text{m}^3\]

Passo 2 — Isolar $[A]$: \[[A] = \frac{\text{m}^3}{[t^3]} = \frac{\text{m}^3}{\text{s}^3} = \boxed{\text{m}^3\text{s}^{-3}}\]

Para a constante B:

Passo 1 — O termo $B/t$ deve ter dimensão de $\text{m}^3$: \[\left[\frac{B}{t}\right] = \text{m}^3\]

Passo 2 — Isolar $[B]$: \[[B] = \text{m}^3 \cdot [t] = \text{m}^3 \cdot \text{s} = \boxed{\text{m}^3\text{s}}\]

Exercício 6 — Análise dimensional de $a = kr^pv^q$

O que queremos: encontrar $p$ e $q$ igualando as dimensões dos dois lados.

Passo 1 — Escrever as dimensões de cada grandeza: \[[a] = \text{m} \cdot \text{s}^{-2}, \quad [r] = \text{m}, \quad [v] = \text{m} \cdot \text{s}^{-1}, \quad [k] = 1 \text{ (adimensional)}\]

Passo 2 — Substituir na equação $a = kr^pv^q$: \[\text{m} \cdot \text{s}^{-2} = \text{m}^p \cdot (\text{m} \cdot \text{s}^{-1})^q\]

Passo 3 — Expandir o lado direito: \[\text{m} \cdot \text{s}^{-2} = \text{m}^p \cdot \text{m}^q \cdot \text{s}^{-q} = \text{m}^{p+q} \cdot \text{s}^{-q}\]

Passo 4 — Igualar os expoentes separadamente:

Para s: $\quad -q = -2 \implies \boxed{q = 2}$

Para m: $\quad p + q = 1 \implies p = 1 - 2 \implies \boxed{p = -1}$

Passo 5 — Escrever o resultado final: \[a = k \frac{v^2}{r}\]

Isso é a fórmula da aceleração centrípeta! O valor $k = 1$ não pode ser obtido por análise dimensional — seria necessário um experimento ou dedução teórica.

Exercício 7 — Conversão de furlongs/fortnight para m/s

O que queremos: converter $v = 5{,}0 \text{ furlongs/fortnight}$ para m/s.

Estratégia: converter numerador (comprimento) e denominador (tempo) separadamente.

Passo 1 — Converter furlongs para metros: \[5{,}0 \text{ furlongs} \times 202 \frac{\text{m}}{\text{furlong}} = 1010 \text{ m}\]

Passo 2 — Converter 1 fortnight para segundos: \[1 \text{ fortnight} = 14 \text{ dias} \times 24 \frac{\text{h}}{\text{dia}} \times 3600 \frac{\text{s}}{\text{h}} = 1.209.600 \text{ s}\]

Passo 3 — Calcular a velocidade: \[v = \frac{1010 \text{ m}}{1.209.600 \text{ s}} \approx \boxed{8{,}35 \times 10^{-4} \text{ m/s}}\]

Para comparar: a velocidade de uma lesma é tipicamente entre $5 \times 10^{-4}$ e $1 \times 10^{-3}$ m/s. Bate certinho!

Exercício 8 — Raio da esfera de alumínio

O que queremos: encontrar $R_{Al}$ tal que $m_{Al} = m_{Fe}$ (equilíbrio na balança).

Dados: $\rho_{Al} = 2700 \text{ kg/m}^3$, $\rho_{Fe} = 7860 \text{ kg/m}^3$, $R_{Fe} = 2{,}0 \text{ cm} = 0{,}020 \text{ m}$.

Passo 1 — Igualar as massas. A massa de uma esfera é $m = \rho \cdot V = \rho \cdot \dfrac{4}{3}\pi R^3$: \[\rho_{Al} \cdot \frac{4}{3}\pi R_{Al}^3 = \rho_{Fe} \cdot \frac{4}{3}\pi R_{Fe}^3\]

Passo 2 — Cancelar $\dfrac{4}{3}\pi$ dos dois lados: \[\rho_{Al} \cdot R_{Al}^3 = \rho_{Fe} \cdot R_{Fe}^3\]

Passo 3 — Isolar $R_{Al}^3$: \[R_{Al}^3 = R_{Fe}^3 \cdot \frac{\rho_{Fe}}{\rho_{Al}} = (0{,}020)^3 \cdot \frac{7860}{2700}\]

Passo 4 — Calcular cada parte: \[(0{,}020)^3 = 8{,}0 \times 10^{-6} \text{ m}^3\] \[\frac{7860}{2700} \approx 2{,}911\] \[R_{Al}^3 = 8{,}0 \times 10^{-6} \times 2{,}911 = 2{,}329 \times 10^{-5} \text{ m}^3\]

Passo 5 — Extrair a raiz cúbica: \[R_{Al} = \left(2{,}329 \times 10^{-5}\right)^{1/3}\]

Calculando: $\sqrt[3]{2{,}329} \approx 1{,}326$ e $\sqrt[3]{10^{-5}} = 10^{-5/3} \approx 10^{-1{,}667} \approx 2{,}154 \times 10^{-2}$

\[R_{Al} \approx 1{,}326 \times 2{,}154 \times 10^{-2} \approx \boxed{2{,}86 \times 10^{-2} \text{ m} = 2{,}86 \text{ cm}}\]

Verificação rápida: faz sentido que $R_{Al} > R_{Fe}$, já que o alumínio é menos denso — precisa de um volume maior para ter a mesma massa.

Exercício 9 — Economia de gasolina

O que queremos: a diferença total no consumo de combustível para 50 milhões de carros.

Passo 1 — Calcular o consumo anual de cada carro com eficiência de 8 km/ℓ: \[\frac{16.000 \text{ km}}{8 \text{ km/ℓ}} = 2.000 \text{ ℓ/ano por carro}\]

Passo 2 — Calcular o consumo anual com eficiência de 10 km/ℓ: \[\frac{16.000 \text{ km}}{10 \text{ km/ℓ}} = 1.600 \text{ ℓ/ano por carro}\]

Passo 3 — Calcular a economia por carro: \[\Delta = 2.000 - 1.600 = 400 \text{ ℓ/ano por carro}\]

Passo 4 — Multiplicar pelos 50 milhões de carros: \[\Delta_{total} = 400 \times 50 \times 10^6 = 2 \times 10^{10} \text{ ℓ/ano} = \boxed{20 \text{ bilhões de litros por ano}}\]

Exercício 10 — Massa da Terra

O que queremos: $M_{Terra}$, usando $\rho$ e $R$.

Dado: $\rho = 5{,}5 \text{ g/cm}^3$, $R = 6{,}37 \times 10^6 \text{ m}$.

Passo 1 — Converter $\rho$ para kg/m³: \[5{,}5 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \times \frac{1 \text{ kg}}{1000 \text{ g}} \times \frac{10^6 \text{ cm}^3}{1 \text{ m}^3} = 5500 \text{ kg/m}^3\]

Passo 2 — Calcular o volume da Terra: \[V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3} \times 3{,}1416 \times (6{,}37 \times 10^6)^3\]

Calculando $(6{,}37)^3 = 258{,}5$ e $(10^6)^3 = 10^{18}$: \[V = \frac{4}{3} \times 3{,}1416 \times 258{,}5 \times 10^{18} = 4{,}189 \times 258{,}5 \times 10^{18} \approx 1{,}082 \times 10^{21} \text{ m}^3\]

Passo 3 — Calcular a massa: \[M = \rho \cdot V = 5500 \times 1{,}082 \times 10^{21} = 5{,}951 \times 10^{24} \approx \boxed{5{,}95 \times 10^{24} \text{ kg}}\] > Verificação rápida: a massa da Terra é conhecida por ser aproximadamente $5{,}97 \times 10^{24}$ kg, então nosso resultado está muito próximo — ótimo!