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Lista 01.4 — Movimento em duas e três dimensões

Missão

Resolver os exercícios de mecânica com passos detalhados, explicando cada etapa do raciocínio e os cálculos envolvidos. O objetivo é fornecer uma compreensão clara e completa de como chegar à resposta correta, utilizando conceitos fundamentais da física e matemática.

Revisão: Operações com vetores

Antes de começar, vale revisar as operações essenciais que serão usadas ao longo de toda esta seção.

Notação: um vetor em 2D é escrito como \(\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}\), onde \(\hat{i}\) e \(\hat{j}\) são os versores nas direções \(x\) e \(y\).

Operação	Fórmula
Soma	\(\vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x)\hat{i} + (A_y + B_y)\hat{j}\)
Módulo	\(\|\vec{A}\| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}\)
Produto escalar	\(\vec{A} \cdot \vec{B} = A_xB_x + A_yB_y\)
Ângulo entre vetores	\(\cos\theta = \dfrac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\|\vec{A}\|\|\vec{B}\|}\)

Exercício 28 — Desenho dos vetores \(\vec{A} = \hat{i} - 4\hat{j}\) e \(\vec{B} = 2\hat{i} + 6\hat{j}\)

Passo 1 — Identificar as componentes: \[\vec{A}: \quad x = 1, \quad y = -4\] \[\vec{B}: \quad x = 2, \quad y = 6\]

Passo 2 — Para desenhar, parte-se da origem e traça-se cada vetor como uma seta até o ponto \((x, y)\) correspondente:

\(\vec{A}\) aponta 1 unidade para a direita e 4 para baixo
\(\vec{B}\) aponta 2 unidades para a direita e 6 para cima

Este exercício é gráfico — faça no papel quadriculado com régua!

Exercício 29 — \(\vec{A} = 4\hat{i} + 12\hat{j}\) e \(\vec{B} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}\)

(a) \(\vec{A}/8\)

Passo 1 — Dividir cada componente por 8: \[\frac{\vec{A}}{8} = \frac{4}{8}\hat{i} + \frac{12}{8}\hat{j} = \boxed{\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j}}\]

(b) Componente \(y\) do vetor \(\vec{B}\)

Lendo diretamente: \[\boxed{B_y = -3}\]

(c) \(\vec{A} + \vec{B}\) e \(\vec{A} - \vec{B}\)

Passo 1 — Notar que \(\vec{A}\) não tem componente \(z\), então \(A_z = 0\).

Soma: \[\vec{A} + \vec{B} = (4+4)\hat{i} + (12-3)\hat{j} + (0+2)\hat{k} = \boxed{8\hat{i} + 9\hat{j} + 2\hat{k}}\]

Diferença: \[\vec{A} - \vec{B} = (4-4)\hat{i} + (12-(-3))\hat{j} + (0-2)\hat{k} = \boxed{0\hat{i} + 15\hat{j} - 2\hat{k}}\]

(d) Módulos de \(\vec{A}\) e \(\vec{B}\)

Para \(\vec{A}\) (apenas componentes \(x\) e \(y\)): \[|\vec{A}| = \sqrt{4^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \approx \boxed{12{,}6}\]

Para \(\vec{B}\) (três componentes): \[|\vec{B}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29} \approx \boxed{5{,}4}\]

(e) Produto escalar \(\vec{A} \cdot \vec{B}\)

Passo 1 — Multiplicar componente a componente e somar: \[\vec{A} \cdot \vec{B} = (4)(4) + (12)(-3) + (0)(2)\] \[= 16 - 36 + 0 = \boxed{-20}\]

(f) Ângulo entre \(\vec{A}\) e \(\vec{B}\)

Passo 1 — Usar a definição do produto escalar: \[\cos\theta = \frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|} = \frac{-20}{4\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}}\]

Passo 2 — Calcular o denominador: \[4\sqrt{10} \cdot \sqrt{29} = 4\sqrt{290} \approx 4 \times 17{,}03 \approx 68{,}1\]

Passo 3 — Calcular o cosseno e o ângulo: \[\cos\theta = \frac{-20}{68{,}1} \approx -0{,}2937\] \[\theta = \arccos(-0{,}2937) \approx \boxed{107{,}1°}\]

Exercício 30 — Automóvel de P a Q

\(P = (2, -4)\) km, \(Q = (-2, -6)\) km.

(a) Distância \(d\) entre P e Q

Passo 1 — Calcular as diferenças de coordenadas: \[\Delta x = x_Q - x_P = -2 - 2 = -4 \text{ km}\] \[\Delta y = y_Q - y_P = -6 - (-4) = -2 \text{ km}\]

Passo 2 — Aplicar o teorema de Pitágoras: \[d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx \boxed{4{,}47 \text{ km}}\]

(b) Ângulo \(\theta\) girado pela luneta

Passo 1 — O vetor deslocamento é \(\Delta\vec{r} = -4\hat{i} - 2\hat{j}\).

Passo 2 — A luneta aponta inicialmente para P. O ângulo de P em relação à origem: \[\theta_P = \arctan\left(\frac{y_P}{x_P}\right) = \arctan\left(\frac{-4}{2}\right) = \arctan(-2) \approx -63{,}4°\]

Passo 3 — O ângulo de Q em relação à origem: \[\theta_Q = \arctan\left(\frac{-6}{-2}\right) = \arctan(3) \approx 180° + 56{,}3° = 236{,}3°\]

(Q está no 3° quadrante, então somamos 180°)

Passo 4 — Ângulo girado: \[\Delta\theta = \theta_Q - \theta_P = 236{,}3° - (-63{,}4°) \approx \boxed{45°}\]

Exercício 31 — Ponto material: 10 m leste, 20 m nordeste, 10 m norte

(a) Vetor deslocamento total

Passo 1 — Decompor cada trecho em componentes \(x\) (leste) e \(y\) (norte):

Trecho 1 (10 m para leste): \[\Delta\vec{r}_1 = 10\hat{i} + 0\hat{j} \text{ m}\]

Trecho 2 (20 m para nordeste = 45° com leste): \[\Delta\vec{r}_2 = 20\cos(45°)\hat{i} + 20\text{sen}(45°)\hat{j} = \frac{20}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{20}{\sqrt{2}}\hat{j} = 10\sqrt{2}\hat{i} + 10\sqrt{2}\hat{j} \text{ m}\]

Trecho 3 (10 m para norte): \[\Delta\vec{r}_3 = 0\hat{i} + 10\hat{j} \text{ m}\]

Passo 2 — Somar todos os trechos: \[\Delta\vec{r}_{total} = (10 + 10\sqrt{2} + 0)\hat{i} + (0 + 10\sqrt{2} + 10)\hat{j}\] \[= (10 + 10\sqrt{2})\hat{i} + (10 + 10\sqrt{2})\hat{j}\]

\[\boxed{\Delta\vec{r}_{total} = 10(1+\sqrt{2})\hat{i} + 10(1+\sqrt{2})\hat{j} \text{ m}}\]

(b) Velocidade média em cada trecho (5 s cada)

\[\vec{v}_1 = \frac{\Delta\vec{r}_1}{\Delta t} = \frac{10\hat{i}}{5} = \boxed{2\hat{i} \text{ m/s}}\]

\[\vec{v}_2 = \frac{\Delta\vec{r}_2}{\Delta t} = \frac{10\sqrt{2}\hat{i} + 10\sqrt{2}\hat{j}}{5} = \boxed{2\sqrt{2}\hat{i} + 2\sqrt{2}\hat{j} \text{ m/s}}\]

\[\vec{v}_3 = \frac{\Delta\vec{r}_3}{\Delta t} = \frac{10\hat{j}}{5} = \boxed{2\hat{j} \text{ m/s}}\]

(c) Vetor velocidade média do movimento total

O tempo total é \(\Delta t_{total} = 3 \times 5 = 15\) s:

\[\vec{v}_m = \frac{\Delta\vec{r}_{total}}{\Delta t_{total}} = \frac{10(1+\sqrt{2})\hat{i} + 10(1+\sqrt{2})\hat{j}}{15}\]

\[\boxed{\vec{v}_m = \frac{2}{3}(1+\sqrt{2})\hat{i} + \frac{2}{3}(1+\sqrt{2})\hat{j} \approx 1{,}61\hat{i} + 1{,}61\hat{j} \text{ m/s}}\]

(d) Distância total \(D\) e módulo do deslocamento total

Distância total (soma dos comprimentos de cada trecho): \[D = 10 + 20 + 10 = \boxed{40 \text{ m}}\]

Módulo do deslocamento total: \[|\Delta\vec{r}_{total}| = \sqrt{[10(1+\sqrt{2})]^2 + [10(1+\sqrt{2})]^2}\] \[= 10(1+\sqrt{2})\sqrt{2} = 10\sqrt{2}(1+\sqrt{2}) = 10(\sqrt{2} + 2) \approx \boxed{34{,}1 \text{ m}}\]

Exercício 32 — Trajetória ABC (Figura 3), \(v = 2\) m/s constante

Da figura: A = (0, 2), B = (4, 2), C = (6, 0). O módulo da velocidade é 2 m/s em todo o percurso.

(a) Vetor velocidade no trecho AB

Passo 1 — O trecho AB vai de \((0,2)\) a \((4,2)\): movimento horizontal para a direita.

Passo 2 — O versor na direção AB é \(\hat{i}\), com \(v = 2\) m/s: \[\boxed{\vec{v}_{AB} = 2\hat{i} \text{ m/s}}\]

(b) Vetor posição no trecho AB

Passo 1 — Integrar \(\vec{v}_{AB}\), com condição inicial \(\vec{r}(0) = 0\hat{i} + 2\hat{j}\): \[\vec{r}_{AB}(t) = 2t\hat{i} + 2\hat{j}\]

\[\boxed{\vec{r}_{AB}(t) = 2t\hat{i} + 2\hat{j} \text{ (m)}}\]

(c) Tempo de A até B

Passo 1 — O comprimento do trecho AB é \(|B - A| = |(4,2)-(0,2)| = 4\) m.

Passo 2 — Com velocidade constante de 2 m/s: \[t_{AB} = \frac{4}{2} = \boxed{2 \text{ s}}\]

(d) Vetor velocidade no trecho BC

Passo 1 — O deslocamento de B a C é: \[\Delta\vec{r}_{BC} = (6-4)\hat{i} + (0-2)\hat{j} = 2\hat{i} - 2\hat{j}\]

Passo 2 — O comprimento desse segmento: \[|BC| = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} \text{ m}\]

Passo 3 — O versor na direção BC: \[\hat{u}_{BC} = \frac{2\hat{i} - 2\hat{j}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}\]

Passo 4 — Multiplicar pelo módulo da velocidade: \[\vec{v}_{BC} = 2 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}\right)\]

\[\boxed{\vec{v}_{BC} = \sqrt{2}\hat{i} - \sqrt{2}\hat{j} \text{ m/s}}\]

(e) Vetor posição no trecho BC

Passo 1 — A origem do tempo neste trecho começa em \(t_{AB} = 2\) s, quando a partícula está em B = \((4, 2)\).

Passo 2 — Integrar \(\vec{v}_{BC}\) a partir de B: \[\vec{r}_{BC}(t) = \vec{r}_B + \vec{v}_{BC}(t - 2)\] \[= (4\hat{i} + 2\hat{j}) + (\sqrt{2}\hat{i} - \sqrt{2}\hat{j})(t-2)\]

\[\boxed{\vec{r}_{BC}(t) = (4 + \sqrt{2}(t-2))\hat{i} + (2 - \sqrt{2}(t-2))\hat{j} \text{ (m)}}\]

(f) Tempo de A até C

Passo 1 — Comprimento do trecho BC: \(|BC| = 2\sqrt{2}\) m.

Passo 2 — Tempo no trecho BC: \[t_{BC} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \text{ s}\]

Passo 3 — Tempo total: \[t_{AC} = t_{AB} + t_{BC} = 2 + \sqrt{2} \approx \boxed{3{,}41 \text{ s}}\]

(g) Módulo do deslocamento de A até C

\[\Delta\vec{r}_{AC} = \vec{r}_C - \vec{r}_A = (6\hat{i} + 0\hat{j}) - (0\hat{i} + 2\hat{j}) = 6\hat{i} - 2\hat{j}\] \[|\Delta\vec{r}_{AC}| = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx \boxed{6{,}33 \text{ m}}\]

(h) Distância total percorrida até \(t = 3\) s

Passo 1 — Até \(t = 2\) s a partícula percorre o trecho AB: \(D_1 = 4\) m.

Passo 2 — De \(t = 2\) s a \(t = 3\) s (1 segundo no trecho BC a 2 m/s): \(D_2 = 2 \times 1 = 2\) m.

\[D = D_1 + D_2 = \boxed{6 \text{ m}}\]

Exercício 33 — \(x(t) = 2t^3 - 3t^2\) e \(y(t) = t^2 - 2t + 1\)

(a) Vetor posição em \(t = 1\) s

Passo 1 — Calcular \(x(1)\) e \(y(1)\): \[x(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 = 2 - 3 = -1 \text{ m}\] \[y(1) = (1)^2 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 \text{ m}\]

\[\boxed{\vec{r}(1) = -\hat{i} \text{ m}}\]

(b) Componentes da velocidade

Passo 1 — Derivar cada posição: \[v_x(t) = \frac{dx}{dt} = 6t^2 - 6t = 6t(t-1)\] \[v_y(t) = \frac{dy}{dt} = 2t - 2 = 2(t-1)\]

\[\boxed{v_x(t) = 6t(t-1) \text{ m/s}, \qquad v_y(t) = 2(t-1) \text{ m/s}}\]

(c) Vetor velocidade em \(t = 0\) e \(t = 1\) s

Em \(t = 0\): \[v_x(0) = 0, \quad v_y(0) = 2(0-1) = -2\] \[\boxed{\vec{v}(0) = -2\hat{j} \text{ m/s}}\]

Em \(t = 1\) s: \[v_x(1) = 6(1)(0) = 0, \quad v_y(1) = 2(0) = 0\] \[\boxed{\vec{v}(1) = \vec{0} \text{ (repouso instantâneo)}}\]

(d) Instante em que a velocidade é nula

Passo 1 — Ambas as componentes devem ser zero simultaneamente: \[v_x = 6t(t-1) = 0 \implies t = 0 \text{ ou } t = 1\] \[v_y = 2(t-1) = 0 \implies t = 1\]

Passo 2 — O único instante em que ambas são zero ao mesmo tempo: \[\boxed{t = 1 \text{ s}}\]

(e) Componentes da aceleração

Passo 1 — Derivar as componentes da velocidade: \[a_x(t) = \frac{dv_x}{dt} = 12t - 6 = 6(2t-1)\] \[a_y(t) = \frac{dv_y}{dt} = 2\]

\[\boxed{a_x(t) = 6(2t-1) \text{ m/s}^2, \qquad a_y(t) = 2 \text{ m/s}^2}\]

(f) Instante em que a aceleração é paralela ao eixo \(y\)

Passo 1 — Para ser paralela ao eixo \(y\), a componente \(x\) da aceleração deve ser zero: \[a_x(t) = 6(2t - 1) = 0 \implies t = \frac{1}{2} = \boxed{0{,}5 \text{ s}}\]

Exercício 34 — \(\vec{r}_A = \hat{j}\) m, \(\vec{r}_B = 3\hat{i} + 5\hat{j}\) m, \(\Delta t = 5\) s

(a) Vetor deslocamento

\[\Delta\vec{r} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (3\hat{i} + 5\hat{j}) - (0\hat{i} + 1\hat{j}) = \boxed{3\hat{i} + 4\hat{j} \text{ m}}\]

(b) Desenho dos vetores

Desenhe \(\vec{r}_A\) partindo da origem até \((0,1)\), \(\vec{r}_B\) até \((3,5)\), e \(\Delta\vec{r}\) de A até B — faça no papel!

(c) Vetor velocidade média e módulo

\[\vec{v}_m = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{3\hat{i} + 4\hat{j}}{5} = \boxed{\frac{3}{5}\hat{i} + \frac{4}{5}\hat{j} \text{ m/s}}\]

\[|\vec{v}_m| = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9+16}{25}} = \sqrt{1} = \boxed{1 \text{ m/s}}\]

(d) Posição após 10 s no sentido oposto

Passo 1 — No sentido oposto, a velocidade é \(-\vec{v}_m\): \[-\vec{v}_m = -\frac{3}{5}\hat{i} - \frac{4}{5}\hat{j} \text{ m/s}\]

Passo 2 — Posição após 10 s, partindo de A: \[\vec{r}(10) = \vec{r}_A + (-\vec{v}_m)(10) = \hat{j} + \left(-\frac{3}{5}\hat{i} - \frac{4}{5}\hat{j}\right)(10)\] \[= 0\hat{i} + 1\hat{j} - 6\hat{i} - 8\hat{j}\] \[= \boxed{-6\hat{i} - 7\hat{j} \text{ m}}\]

Exercício 35 — \(v_x = 2\), \(v_y = 4t^3 + 4t\), com \(x(0) = 0\), \(y(0) = 2\)

(a) Vetores posição e aceleração instantâneos

Posição — Integrar as velocidades:

\[x(t) = \int 2\,dt = 2t + C_1\]

Com \(x(0) = 0 \implies C_1 = 0\), logo \(x(t) = 2t\).

\[y(t) = \int (4t^3 + 4t)\,dt = t^4 + 2t^2 + C_2\]

Com \(y(0) = 2 \implies C_2 = 2\), logo \(y(t) = t^4 + 2t^2 + 2\).

\[\boxed{\vec{r}(t) = 2t\hat{i} + (t^4 + 2t^2 + 2)\hat{j} \text{ m}}\]

Aceleração — Derivar as velocidades: \[a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0\] \[a_y = \frac{dv_y}{dt} = 12t^2 + 4\]

\[\boxed{\vec{a}(t) = (12t^2 + 4)\hat{j} \text{ m/s}^2}\]

(b) Equação cartesiana da trajetória

Passo 1 — De \(x = 2t\), isolar \(t\): \[t = \frac{x}{2}\]

Passo 2 — Substituir em \(y(t)\): \[y = \left(\frac{x}{2}\right)^4 + 2\left(\frac{x}{2}\right)^2 + 2 = \frac{x^4}{16} + \frac{x^2}{2} + 2\]

\[\boxed{y(x) = \frac{1}{16}(x^4 + 8x^2 + 32) \text{ m}}\]

Exercício 36 — Colisão entre A e B

Partícula A: \(\vec{v}_A = 3\hat{i}\) m/s, move-se em \(y = D = 30\) m. Partícula B: parte da origem com \(|\vec{a}| = 0{,}40\) m/s², ângulo \(\theta\) com o eixo \(y\).

Encontrar \(\theta\) para que ocorra colisão

Passo 1 — Escrever as posições de A e B. A partícula A passa pelo eixo \(y\) em \(t = 0\), então \(x_A(0) = 0\): \[\vec{r}_A(t) = 3t\hat{i} + 30\hat{j}\]

Passo 2 — A aceleração de B tem módulo 0,40 m/s² e faz ângulo \(\theta\) com o eixo \(y\): \[a_{Bx} = 0{,}40\,\text{sen}(\theta), \quad a_{By} = 0{,}40\cos(\theta)\]

Posição de B (partindo da origem com \(v_0 = 0\)): \[x_B(t) = \frac{1}{2}(0{,}40\,\text{sen}\theta)\,t^2\] \[y_B(t) = \frac{1}{2}(0{,}40\cos\theta)\,t^2\]

Passo 3 — Condição de colisão (\(\vec{r}_A = \vec{r}_B\)):

Para \(y\): \[\frac{1}{2}(0{,}40\cos\theta)\,t^2 = 30 \implies t^2 = \frac{150}{\cos\theta} \quad \text{...(I)}\]

Para \(x\): \[\frac{1}{2}(0{,}40\,\text{sen}\theta)\,t^2 = 3t \implies \frac{1}{2}(0{,}40\,\text{sen}\theta)\,t = 3 \implies t = \frac{15}{\text{sen}\theta} \quad \text{...(II)}\]

Passo 4 — Substituir (II) em (I): \[\left(\frac{15}{\text{sen}\theta}\right)^2 = \frac{150}{\cos\theta}\] \[\frac{225}{\text{sen}^2\theta} = \frac{150}{\cos\theta}\] \[\frac{225\cos\theta}{\text{sen}^2\theta} = 150\] \[\frac{\cos\theta}{\text{sen}^2\theta} = \frac{150}{225} = \frac{2}{3}\]

Passo 5 — Usar \(\text{sen}^2\theta = 1 - \cos^2\theta\): \[\frac{\cos\theta}{1 - \cos^2\theta} = \frac{2}{3}\] \[3\cos\theta = 2(1 - \cos^2\theta) = 2 - 2\cos^2\theta\] \[2\cos^2\theta + 3\cos\theta - 2 = 0\]

Passo 6 — Resolver a equação de 2° grau em \(\cos\theta\) (\(u = \cos\theta\)): \[2u^2 + 3u - 2 = 0 \implies u = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}\]

\[u = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{ou} \quad u = \frac{-8}{4} = -2 \text{ (impossível)}\]

\[\cos\theta = \frac{1}{2} \implies \boxed{\theta = 60°}\]

Passo 7 — Posição da colisão (usando \(t = 15/\text{sen}60° = 15/({\sqrt{3}}/{2}) = 10\sqrt{3}\) s): \[x = 3t = 3(10\sqrt{3}) = 30\sqrt{3} \text{ m}\] \[y = 30 \text{ m}\]

\[\boxed{\vec{r}_{colisão} = 30\sqrt{3}\hat{i} + 30\hat{j} \text{ m}}\]