Lista 01.2 — Cálculo diferencial e integral
Missão
Resolver os exercícios de mecânica com passos detalhados, explicando cada etapa do raciocínio e os cálculos envolvidos. O objetivo é fornecer uma compreensão clara e completa de como chegar à resposta correta, utilizando conceitos fundamentais da física e matemática.
Exercício 11 — Derivadas
Antes de começar, vale revisar as regras principais que serão usadas:
| Regra | Fórmula |
|---|---|
| Potência | \(\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}\) |
| Constante | \(\frac{d}{dx}c = 0\) |
| Produto | \(\frac{d}{dx}[f \cdot g] = f'g + fg'\) |
| Quociente | \(\frac{d}{dx}\left[\frac{f}{g}\right] = \frac{f'g - fg'}{g^2}\) |
| Seno | \(\frac{d}{dx}\text{sen}(x) = \cos(x)\) |
| Cosseno | \(\frac{d}{dx}\cos(x) = -\text{sen}(x)\) |
| Exponencial | \(\frac{d}{dx}e^x = e^x\) |
(a) \(f(x) = 7x^3 + 3x + 2\)
Aplica-se a regra da potência termo a termo.
Passo 1 — Derivar \(7x^3\): \[\frac{d}{dx}7x^3 = 7 \cdot 3x^{3-1} = 21x^2\]
Passo 2 — Derivar \(3x\): \[\frac{d}{dx}3x = 3 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 3\]
Passo 3 — Derivar a constante \(2\): \[\frac{d}{dx}2 = 0\]
Resultado: \[\boxed{f'(x) = 21x^2 + 3}\]
(b) \(f(x) = x\cos(x)\)
Produto de duas funções: \(f = x\) e \(g = \cos(x)\). Usa-se a regra do produto \(f'g + fg'\).
Passo 1 — Identificar as funções e suas derivadas: \[f = x \implies f' = 1\] \[g = \cos(x) \implies g' = -\text{sen}(x)\]
Passo 2 — Aplicar a regra do produto: \[\frac{d}{dx}[x\cos(x)] = f'g + fg' = 1 \cdot \cos(x) + x \cdot (-\text{sen}(x))\]
Resultado: \[\boxed{f'(x) = \cos(x) - x\,\text{sen}(x)}\]
(c) \(f(t) = t + \cos(t)\)
Derivação termo a termo.
Passo 1 — Derivar \(t\): \[\frac{d}{dt}t = 1\]
Passo 2 — Derivar \(\cos(t)\): \[\frac{d}{dt}\cos(t) = -\text{sen}(t)\]
Resultado: \[\boxed{f'(t) = 1 - \text{sen}(t)}\]
(d) \(f(z) = 9z^7 + 6z + 8\)
Regra da potência termo a termo.
Passo 1 — Derivar \(9z^7\): \[\frac{d}{dz}9z^7 = 9 \cdot 7z^6 = 63z^6\]
Passo 2 — Derivar \(6z\): \[\frac{d}{dz}6z = 6\]
Passo 3 — Derivar a constante \(8\): \[\frac{d}{dz}8 = 0\]
Resultado: \[\boxed{f'(z) = 63z^6 + 6}\]
(e) \(f(y) = \dfrac{y}{\cos(y)}\)
Quociente de duas funções. Usa-se a regra do quociente \(\dfrac{f'g - fg'}{g^2}\).
Passo 1 — Identificar as funções e suas derivadas: \[f = y \implies f' = 1\] \[g = \cos(y) \implies g' = -\text{sen}(y)\]
Passo 2 — Aplicar a regra do quociente: \[\frac{d}{dy}\left[\frac{y}{\cos(y)}\right] = \frac{1 \cdot \cos(y) - y \cdot (-\text{sen}(y))}{\cos^2(y)}\]
Passo 3 — Simplificar: \[= \frac{\cos(y) + y\,\text{sen}(y)}{\cos^2(y)}\]
Passo 4 — Separar a fração usando \(\dfrac{1}{\cos(y)} = \sec(y)\) e \(\dfrac{\text{sen}(y)}{\cos(y)} = \text{tg}(y)\): \[= \frac{1}{\cos(y)} + \frac{y\,\text{sen}(y)}{\cos^2(y)} = \sec(y) + y\,\text{tg}(y)\sec(y)\]
Resultado: \[\boxed{f'(y) = \sec(y)\left[1 + y\,\text{tg}(y)\right]}\]
(f) \(f(t) = te^{-t}\)
Produto de duas funções: \(f = t\) e \(g = e^{-t}\).
Passo 1 — Identificar as funções e suas derivadas. Para \(e^{-t}\), usamos a regra da cadeia: \[f = t \implies f' = 1\] \[g = e^{-t} \implies g' = -e^{-t}\]
Passo 2 — Aplicar a regra do produto: \[\frac{d}{dt}[te^{-t}] = 1 \cdot e^{-t} + t \cdot (-e^{-t})\]
Passo 3 — Colocar \(e^{-t}\) em evidência: \[= e^{-t}(1 - t)\]
Resultado: \[\boxed{f'(t) = e^{-t}(1 - t)}\]
Exercício 12 — Integrais
Regras principais usadas:
| Regra | Fórmula |
|---|---|
| Potência | \(\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\) |
| Cosseno | \(\int \cos(x)\,dx = \text{sen}(x) + C\) |
| Exponencial | \(\int e^x\,dx = e^x + C\) |
| TFC | \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\) |
(a) \(\displaystyle\int_1^2 \frac{2}{x^2}\,dx\)
Passo 1 — Reescrever o integrando como potência: \[\frac{2}{x^2} = 2x^{-2}\]
Passo 2 — Integrar usando a regra da potência: \[\int 2x^{-2}\,dx = 2 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{2}{x}\]
Passo 3 — Aplicar os limites (Teorema Fundamental do Cálculo): \[\left[-\frac{2}{x}\right]_1^2 = \left(-\frac{2}{2}\right) - \left(-\frac{2}{1}\right) = -1 + 2\]
Resultado: \[\boxed{\int_1^2 \frac{2}{x^2}\,dx = 1}\]
(b) \(\displaystyle\int \left(x^7 + 7x + 4\right)dx\)
Passo 1 — Integrar cada termo separadamente: \[\int x^7\,dx = \frac{x^8}{8}\] \[\int 7x\,dx = 7 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{7x^2}{2}\] \[\int 4\,dx = 4x\]
Resultado (integral indefinida, inclui constante \(C = x_0\)): \[\boxed{\int \left(x^7 + 7x + 4\right)dx = \frac{x^8}{8} + \frac{7x^2}{2} + 4x + C}\]
(c) \(\displaystyle\int_0^3 \left(x^3 + e^x\right)dx\)
Passo 1 — Encontrar a primitiva de cada termo: \[\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4}, \qquad \int e^x\,dx = e^x\]
Passo 2 — Aplicar os limites: \[\left[\frac{x^4}{4} + e^x\right]_0^3 = \left(\frac{3^4}{4} + e^3\right) - \left(\frac{0^4}{4} + e^0\right)\]
Passo 3 — Calcular: \[= \left(\frac{81}{4} + e^3\right) - (0 + 1) = 20{,}25 + 20{,}09 - 1 \approx \boxed{39{,}3}\]
Usando \(e^3 \approx 20{,}09\).
(d) \(\displaystyle\int \left(\cos y + y\right)dy\)
Passo 1 — Integrar cada termo: \[\int \cos(y)\,dy = \text{sen}(y)\] \[\int y\,dy = \frac{y^2}{2}\]
Resultado: \[\boxed{\int(\cos y + y)\,dy = \text{sen}(y) + \frac{y^2}{2} + C}\]
(e) \(\displaystyle\int_0^{2\pi} \cos\theta\, d\theta\)
Passo 1 — Encontrar a primitiva: \[\int \cos\theta\,d\theta = \text{sen}(\theta)\]
Passo 2 — Aplicar os limites: \[\left[\text{sen}(\theta)\right]_0^{2\pi} = \text{sen}(2\pi) - \text{sen}(0) = 0 - 0\]
Resultado: \[\boxed{\int_0^{2\pi} \cos\theta\,d\theta = 0}\]
Interpretação geométrica: o cosseno é positivo de \(0\) a \(\pi/2\), negativo de \(\pi/2\) a \(3\pi/2\), e positivo novamente até \(2\pi\). As áreas se cancelam exatamente ao longo de um ciclo completo.
(f) \(\displaystyle\int_0^2 \left(4 - z^2\right)dz\)
Passo 1 — Integrar cada termo: \[\int 4\,dz = 4z, \qquad \int z^2\,dz = \frac{z^3}{3}\]
Passo 2 — Aplicar os limites: \[\left[4z - \frac{z^3}{3}\right]_0^2 = \left(4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(0 - 0\right)\]
Passo 3 — Calcular: \[= 8 - \frac{8}{3} = \frac{24 - 8}{3} = \frac{16}{3} \approx \boxed{5{,}3}\]
(g) \(\displaystyle\int_1^4 f(x)\,dx\), onde \(f(x) = \begin{cases} 2x & x \leq 2 \\ x^2 & x \geq 2 \end{cases}\)
A função muda de expressão em \(x = 2\), que está dentro do intervalo \([1, 4]\). Devemos quebrar a integral nesse ponto.
Passo 1 — Separar a integral em dois trechos: \[\int_1^4 f(x)\,dx = \int_1^2 2x\,dx + \int_2^4 x^2\,dx\]
Passo 2 — Calcular a primeira integral: \[\int_1^2 2x\,dx = \left[x^2\right]_1^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3\]
Passo 3 — Calcular a segunda integral: \[\int_2^4 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_2^4 = \frac{4^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{8}{3} = \frac{56}{3} \approx 18{,}7\]
Passo 4 — Somar os dois resultados: \[3 + \frac{56}{3} = \frac{9}{3} + \frac{56}{3} = \frac{65}{3} \approx \boxed{21{,}7}\]